Історія розвитку комбінаторики

Досліджуючи історію розвитку комбінаторики ми встановили, що:

1)  перша згадка про питання, близькі до комбінаторних, зустрічається в китайських рукописах, що відносяться до XII - XIII ст. до н.е. (точно датувати ці рукописи неможливо, тому що вони в 213 р. до н.е. імператор Цин Шихуан наказав спалити всі книги, тому до нас дійшли пізніше зроблені копії). 

Гексаграмма з "Книги Змін
   

                                      
                                                                     Магічний квадрат на гравюрі Дюрера " Меланхолія

Комбінаторні мотиви можна помітити в символіці китайської "Книги Змін" (V століття до н. е..). На думку її авторів, все в світі комбінується з різних поєднань чоловічого і жіночого начал, а також восьми стихій: земля, гори, вода, вітер, гроза, вогонь, хмари і небо.
Історики відзначають також комбінаторні проблеми в керівництві по грі в Го та інші ігри. Великий інтерес математиків багатьох країн з давніх часів незмінно викликали магічні квадрати.
Античні греки також розглядали окремі комбінаторні задачі, хоча систематичний виклад ними цих питань, якщо воно й існувало, до нас не дійшло. Хрісіпп ( III століття до н.е..) і Гіппарх ( II століття до н.е..) підраховували, скільки наслідків можна отримати з 10 аксіом; методика підрахунку нам невідома, але у Хрісіппа вийшло більше мільйона, а у Гіппарха - більше 100000 ^[3]. Аристотель при викладі своєї логіки безпомилково перерахував всі можливі типи тричленних силогізмів. Аристоксен розглянув різні чергування довгих і коротких складів у віршованих розмірах. ^[3] Якісь комбінаторні правила піфагорійці, ймовірно, використовували при побудові своєї теорії чисел і нумерології ( вчинені числа, фігурні числа,Піфагорові трійки та ін.)

Середньовіччя

В XII столітті індійський математик Бхаскара у своїй основній праці "Лілаваті" докладно досліджував завдання, пов'язані з перестановками і поєднаннями, включаючи перестановки з повтореннями.
У Західній Європі ряд глибоких відкриттів в області комбінаторики зробили два єврейських дослідника,Авраам ібн Езра ( XII століття) і Леві бен Гершем (він же Герсонід, XIV століття). Ібн Езра виявив симетричність біноміальних коефіцієнтів, а Герсонід дав явні формули для їх підрахунку і застосування в задачах обчислення числа розміщень і поєднань.
Кілька комбінаторних задач містить " Книга абака "( Фібоначчі, XIII століття). Наприклад, він поставив завдання знайти найменше число гирь, достатнє для зважування будь-якого товару вагою від 1 до 40 фунтів.

Новий час

Джероламо Кардано написав математичне дослідження ігри в кості, опубліковане посмертно. Теорією цієї гри займалися також Тарталья і Галілей. В історію зароджувалась теорії ймовірностей увійшла листування запеклого гравця шевальє де Мере з П'єром Ферма і Блез Паскаль, де були порушені кілька тонких комбінаторних питань. Крім азартних ігор, комбінаторні методи використовувалися (і продовжують використовуватися) в криптографії - як для розробки шифрів, так і для їх злому.

Трикутник Паскаля

Блез Паскаль багато займався біноміальних коефіцієнтів і відкрив простий спосіб їх обчислення: "трикутник Паскаля ". Хоча цей спосіб був уже відомий на Сході (приблизно з X століття), Паскаль, на відміну від попередників, суворо виклав і довів властивості цього трикутника. Поряд з Лейбніцем, він вважається основоположником сучасної комбінаторики. Сам термін "комбінаторика" придумав Лейбніц, який в 1666 (йому було тоді 20 років) опублікував книгу "Роздуми про комбінаторному мистецтві". Правда, термін "комбінаторика" Лейбніц розумів надмірно широко, включаючи в нього всю кінцеву математику і навіть логіку ^[4]. Учень Лейбніца Якоб Бернуллі, один із засновників теорії ймовірностей, виклав у своїй книзі "Мистецтво припущень" ( 1713) безліч відомостей з комбінаторики.
У цей же період формується термінологія нової науки. Термін " поєднання "(combination) вперше зустрічається у Паскаля ( 1653, опублікований в 1665). Термін " перестановка "(permutation) вжив у зазначеній книзі Якоб Бернуллі (хоча епізодично він зустрічався і раніше). Бернуллі використовував і термін " розміщення "(arrangement).
Після появи математичного аналізу виявилася тісний зв'язок комбінаторних і ряду аналітичних задач.Абрахам де Муавр і Джеймс Стірлінг знайшли формули для апроксимації факторіала. ^[5]
Остаточно комбінаторика як самостійний розділ математики оформилася в працях Ейлера. Він детально розглянув, наприклад, такі проблеми.:

• Завдання про хід коня
• Завдання про сім мостах, з якої почалася теорія графів
• Побудова греко-латинських квадратів
• Узагальнені перестановки

Крім перестановок і поєднань, Ейлер вивчав розбиття, а також поєднання і розміщення з умовами.

Сучасний розвиток

На початку XX століття почала розвиватися комбінаторна геометрія: були доведені теореми Мінковського - Радону, Радону, Хеллі, Юнга, Бляшке, а також строго доведена изопериметрическая теорема. На стику топології, аналізу та комбінаторики були доведені теореми Борсука - Улама і Люстерник - Шнирельман. У другій чверті XX століття були поставлені проблема Борсука і проблема Нелсона - Ердеша - Хадвігера. В1940-х роках оформилася теорія Рамсея. Батьком сучасної комбінаторики вважається Пал Ердеш, який ввів в комбінаторику імовірнісний аналіз. Увага до кінцевої математики і, зокрема, до комбінаториці значно підвищилося з другої половини XX століття, коли з'явилися комп'ютери. Зараз це надзвичайно змістовна і швидко розвивається область математики.